Soit \((X,Y)\) de loi uniforme sur le disque de centre \((0,0)\) et de rayon \(1\).
Donner l'expression d'une densité de la loi \((X,Y)\).
Déterminer la loi des coordonnées polaires \((R,\Theta)\).

La densité de \((X,Y)\) est obtenue en mettant une indicatrice et en divisant par la surface couverte.

La densité de \((R,\Theta)\) est obtenue via un Changement de variable avec la jacobienne.

On reconnaît les lois et l'indépendance.

Soit \(X\) une v.a. Positive et \(f:{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}_+\) une fonction croissante de classe \(\mathcal C^1\).
Montrer l'égalité suivante : $${\Bbb E}[f(X)]=f(0)+\int_0^{+\infty}f^\prime(x){\Bbb P}(X\geqslant x)\,dx=f(0)+\int^\infty_0f^\prime(x){\Bbb P}(X\gt x)\,dx.$$

On part du membre le plus compliqué, en remplaçant la probabilité par sa forme intégrale.

On permute les deux intégrales via le Théorème de Fubini et on simplifie l'indicatrice.

On conclut sur la première égalité en utilisant le Théorème fondamental d'analyse.

Il ne peut y avoir qu'un nombre dénombrable d'atomes, ce qui donne la deuxième égalité.

Soit \(X\) une v.a. Positive et \(f:{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}_+\) une fonction croissante de classe \(\mathcal C^1\).
On a l'égalité suivante : $${\Bbb E}[f(X)]=f(0)+\int_0^{+\infty}f^\prime(x){\Bbb P}(X\geqslant x)\,dx=f(0)+\int^\infty_0f^\prime(x){\Bbb P}(X\gt x)\,dx.$$
Soit \(a\gt 0\). On suppose que \(X\) est une v.a. Positive tq \(\sup_{x\gt 1}x^a{\Bbb P}(X\gt x)\) est fini.
Pour quelles valeurs de \(b\gt 0\) est-on sûr que le Moment d'ordre \(b\) de \(X\) est fini ?

Ecrire le moment sous forme intégrale et la séparer entre \(0\) et \(1\) et entre \(1\) et \(+\infty\). La première intégrale est toujours finie.

Si \(0\lt b\lt a\), alors on peut noter \(\varepsilon\) la différence et montrer en utilisant l'hypothèse de l'énoncé que l'intégrale avec \(+\infty\) converge.

Pour \(b=a\), on a un contre-exemple avec la Loi de Pareto.